"UN ACERCAMIENTO A LOS PROCEDIMIENTOS DE RESOLUCIÓN EN SUSTRACCIONES CON TRANSFORMACIÓN"



Juan Manuel Espinosa Alfaro. UPN


ASESORA:DRA. ALICIA CARVAJAL JUÁREZ


INTRODUCCIÓN


La forma como los niños conocen y aprehenden el conocimiento escolar, y más particularmente el conocimiento matemático, sigue siendo hoy fuente de intensos debates y estudios. No sólo por el significado que en sí mismo conlleva dicha cuestión, sino también por las implicaciones educativas que puede tener, sin duda, cada vez más trascendentes.

El tema que aquí nos ocupa, el de los algoritmos, nos remite a uno de los contenidos elementales del currículum de la formación inicial. Efectivamente, las llamadas operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división de números naturales y racionales), constituyen la parte vertebral de la aritmética que se enseña en el nivel preescolar, primario y en buena parte del secundario. En muchos sentidos se les considera imprescindibles, aunque a veces no se tenga toda la claridad sobre sus usos y aplicaciones. Avila comenta al respecto: "Los algoritmos (...), forman parte importante de la tradición educativa en matemáticas. Socialmente son muy valorados: los docentes los aprecian; los padres y los directores los exigen". (Avila: 1996, 13).

Este predominio del algoritmo en la formación inicial ha tenido sus consecuencias teóricas, programáticas y prácticas. En términos conceptuales y curriculares, la enseñanza del algoritmo ha prevalecido a lo largo de muchas décadas de educación formal como sustento de la escuela misma. En términos prácticos, que es en donde se pueden ver sus verdaderos significados, las operaciones básicas se han constituido en parte de una tradición escolar fuertemente marcada por el mecanicismo, el énfasis en las técnicas de resolución, la repetición y los resultados. En muchos casos, lo que se pretende es llegar a un procedimiento único y a la obtención de una conclusión correcta, y esto último se ha convertido en medio y fin de la enseñanza matemática (Bermejo: 1990; Maza: 1995).

Tras estas prácticas, sin duda, prevalece una concepción del aprendizaje que considera al individuo como depositario de la palabra y las enseñanzas del maestro y no como sujeto activo y en proceso de construcción de los diferentes tipos de conocimiento a que tiene acceso en los múltiples contextos de su devenir cotidiano. Por ello, es entendible que se crea que "poniendo" a los niños a repetir, a memorizar y a llenar sus cuadernos de algoritmos, alcanzarán una cabal comprensión de los mismos.

En esta misma línea de análisis, Aguayo sostiene que en las instituciones escolares existe una cultura matemática que privilegia el uso de los algoritmos en una sola dirección: la resolución mecánica, y que dicha práctica es un fenómeno social y cultural que trasciende a la escuela misma. A este fenómeno le ha llamado doxa algorítmica (Aguayo: 2000, 193).

Bajo esta perspectiva, se hacen necesarios nuevos planteamientos sobre la enseñanza de los algoritmos en la escuela primaria, que es donde se enfoca el presente trabajo. Como bien lo señalan los actuales Planes y Programas de Estudio para este nivel, no se trata de reducirlos, modificarlos o definitivamente desaparecerlos; más bien se requiere modificar la percepción que se tiene de ellos y de reorientarlos al interior de las prácticas docentes. Al respecto se señala: "Las operaciones (deben ser) concebidas como instrumentos que permitan resolver problemas: el significado y sentido que los niños puedan darles deriva, precisamente, de las situaciones que resuelvan con ellas" (SEPa: 1994, 51).

La nueva orientación didáctica en este sentido, ha enfatizado el carácter instrumental de las operaciones básicas, es decir, su vinculación con un significado por y para el niño en situaciones específicas. Es este propósito terminal de la educación matemática el que se encuentra en debate entre una serie de prácticas docentes profundamente enraizadas en los viejos esquemas algorítmicos y los esfuerzos de una reforma, como la actual, que pugna por modificarlas sustancialmente.

En este contexto, se destacan las sustracciones con transformación, ésas que comúnmente denominamos "como de llevar". Este tipo de operaciones presentan una especial dificultad para los alumnos, no sólo por la complejidad que representa el significado mismo de restar, sino también porque se agregan los cambios con los que se opera en relación a los valores posicionales (Bermejo: 1990). En forma particular, se hará énfasis en el presente trabajo en las situaciones donde ciertas cantidades son menores en el sustraendo y donde existen ceros en el mismo. Estas dos formas específicas del algoritmo son las que parecen plantear mayores complicaciones a los alumnos.

La resta, en sus múltiples presentaciones, constituye un antecedente importante para otro tipo de contenidos matemáticos y de otras operaciones más complejas: la división apoya gran parte de su procedimiento en situaciones de sustracción (Martínez: 1997).

La presente investigación tiene como objetivo central el identificar las estrategias e hipótesis que desarrollan los niños, así como los errores que cometen, cuando se enfrentan a los algoritmos de sustracción con transformación. Esencialmente se trata de seguir la línea psicológica que describe Bermejo (1990), en relación con la interiorización de los actos de restar. Se parte aquí de la idea de que este tipo de indagaciones son fundamentales para modificar las prácticas docentes de manera sustancial, porque pueden generar modelos didácticos que posibiliten una mejor comprensión y utilización de los algoritmos en la escuela primaria, así como ofrecer a los profesores ciertas explicaciones acerca de las respuestas de los niños en situaciones similares.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA


El planteamiento central que orienta la presente investigación se sintetiza en el siguiente cuestionamiento: ¿qué hipótesis y estrategias elaboran los niños cuando se enfrentan a la resolución de sustracciones con transformación?

En un segundo momento se plantean las siguientes preguntas, derivadas del cuestionamiento anterior: a)¿Cuáles son los errores más comunes en que incurren los alumnos al resolver este tipo de algoritmos? b)¿Cómo influye la escolarización en las estrategias naturales que los niños poseen para resolver los algoritmos?

La presente investigación tiene como antecedentes inmediatos dos trabajos de Bollás (1996 y 1997), en los que este autor analiza y clasifica las respuestas de niños de diferentes edades, al resolver algoritmos de suma y resta. A diferencia de éstos, en el presente estudio se pretende ahondar en dos aspectos fundamentales de las sustracciones: las transformaciones con números menores en el minuendo y las situaciones que tienen que ver con los significados del cero, cuando éste se encuentra en esa parte de la operación.

Al respecto, se parte de dos ideas iniciales: por un lado, se considera que estos procedimientos, los de transformación, son los que presentan mayor dificultad a los alumnos para llegar a una cabal comprensión de las operaciones analizadas y, segundo, que éstos son los que más tardíamente aparecen en los niños.

La noción que se utiliza de transformación en las siguientes notas, hace referencia a los cambios que se operan en un algoritmo, sea éste aditivo o sustractivo, cuando se pone en juego el valor posicional de las cantidades. Las hemos descrito con el vocablo popular de "operaciones de llevar". En este sentido, es importante hacer una clara distinción con definiciones similares, por ejemplo, las de Vergnaud (1991) y Piaget (1984), que hacen referencia a aspectos del pensamiento matemático, y que se ubican en un plano diferente de la discusión a que alude este trabajo.

En los procedimientos que se analizarán, por lo tanto, es importante destacar los conceptos del valor posicional y del sistema de numeración como antecedentes imprescindibles.

Una parte esencial en el planteamiento teórico y práctico que guía el trabajo es la escolarización. Efectivamente, al igual que en los procesos de adquisición de la lecto-escritura, donde diversos autores han señalado reiteradamente que los niños poseen una serie de conocimientos que anteceden a los que adquirirán en la escuela (Ferreiro: 1992), con las matemáticas ocurre algo similar. En sus vivencias cotidianas, los niños se enfrentan constantemente a circunstancias que tienen que ver con los números, si bien de manera no formal: cuando van a la tienda a comprar, en las numeraciones de las casa, en los números telefónicos, etc. Todo ello constituye un capital con el que se inicia su conocimiento matemático. En esencia, los niños resuelven problemas de tipo aritmético mucho antes de ingresar a la escuela.

Por ello, cuando aquí se hace referencia a las estrategias infantiles para la resolución de los algoritmos, se está aludiendo a una especie de constructo sintético; esto es, al producto de una serie de procedimientos de origen no escolar (naturales) entremezclados con otros más formales y de origen escolar. Este planteamiento ha sido claramente expuesto por Carraher y Schliemann (1991: 23), al señalar que el reto de la escuela es "...buscar maneras de usar en la clase el conocimiento matemático cotidiano de los alumnos; ese desafío, si se acepta de hecho, puede revolucionar y ,principalmente, hacer mucho más fascinante el aprendizaje de las matemáticas".

A continuación se presentan algunas de las hipótesis que guiarán el presente trabajo:

2.1 Que los procedimientos iniciales de resolución infantil, al restar con transformaciones, contienen una lógica "natural", esto es, no institucionalizada.

2.2 Que las estrategias iniciales que los niños elaboran de estas operaciones, al iniciar su formación matemática, se modifican a la luz del proceso de escolarización.

2.3 Que estas estrategias iniciales (y por ello "naturales"), pueden verse sensiblemente trastocadas por las necesidades de la enseñanza; es decir, que los requerimientos escolares y de otra índole pueden determinar un tipo de prácticas docentes que dificulten la comprensión del algoritmo.

2.4 Que los procedimientos observados en niños que tienen cierto dominio de los algoritmos de sustracción, constituyen una síntesis de los procedimientos iniciales y de los procedimientos escolarizados.

2.5 Que es posible detectar una serie de creencias y de prácticas algorítmicas en la escuela, sustentadas en la costumbre y la tradición (es decir, de origen cultural), que dificultan a los niños la cabal comprensión de las operaciones matemáticas.

Luego entonces, hay que agregar, que las posibles respuestas que se puedan identificar durante la realización de este trabajo, tendrán relevancia en tanto que permitan una mejor comprensión del pensamiento infantil y de la forma como éste actúa y se modifica por la influencia de la escuela.

MARCO TEORICO


EL ALGORITMO DE LA SUSTRACCIÓN

El término algoritmo refiere al procedimiento o la fórmula mediante los cuales se resuelve un problema. La palabra se deriva del nombre del matemático árabe Al-Juarismi (825 D.C.). De acuerdo a esta definición, entre los algoritmos deben considerarse no sólo a las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, etc), sino también a sistemas más complejos de resolución, por ejemplo los programas computacionales (Blackbum: 1994).

Para Chevallard (1998, 125), el algoritmo es una forma particular de técnica matemática. Dice este autor, que se trata de "...una 'manera de hacer' determinada que nos permite realizar las tareas en cuestión de una forma relativamente sistemática y segura".

En la resolución de los algoritmos se consideran dos componentes básicos:

a)Las ideas o significados asociados a ellos, esto es, las de agregar, juntar... para la suma; cuando se trata de restar, la correlación es quitar, perder, separar...
b)Las reglas que facilitan su resolución, por ejemplo, las propiedades (conmutativa, asociativa, etc), así como otras reglas "...de sustitución que permiten traducir o convertir cálculos más o menos complicados en otros más sencillos, por ejemplo, la suma 2+3+2+5+7+2+2+2, puede realizarse sumando primero todos los dos, luego agregando 8, etcétera" (Mancera: 1991, 44).

La sustracción o resta se considera como una operación con significado propio, si bien su origen puede hallarse en la adición. Se destacan las siguientes modalidades:

a)Como sustracción propiamente dicha
b)Como diferencia producto del resultado de dos números puestos en relación.
c)Como inversibilidad con respecto a la suma (Velázquez: 1988, 120).

LA TRANSFORMACIÓN Y EL CERO EN LA RESTA

Las situaciones de transformación en la resta y la presencia de ceros, particularmente en el minuendo, parecen constituir las que más complejidad presentan a los niños en su resolución. Se entiende por transformación el conjunto de cambios que se tienen que realizar en una operación en relación con los valores posicionales de sus numerales.

Por su complejidad, las sustracciones con transformación se incluyen en el programa de educación primaria hasta el segundo curso (SEPa: 1994). En este grado se realizan actividades paralelas con el sistema de numeración y los algoritmos de suma y resta, agrupando y desagrupando hasta decenas. Posteriormente, y en forma gradual, se presentan operaciones cada vez más complejas.

La experiencia magisterial cotidiana, sin embargo, nos señala que a pesar de esta complejidad graduada, las sustracciones con transformación constituyen para el niño situaciones de gran dificultad, independientemente de las formas de enseñanza.

Un caso relevante al respecto son las situaciones donde interviene el cero en el minuendo. Nemirovsky (1988, 34), expone algunas hipótesis que los niños del nivel preescolar pueden formularse cuando se enfrentan a estas situaciones. A saber:

a)"¿Qué hipótesis tienen los niños respecto al cero cuando es la cantidad que interviene al inicio de una operación? (ej: 0-2)".
b)"¿Qué hipótesis tienen los niños respecto al cero cuando es la cantidad con la cual se ejerce la transformación misma? (ej: 2-0)"
c)"¿Cómo se interpreta el cero cuando es el resultado de una operación?".

En la misma línea, se podrían agregar las siguientes:

d)¿Qué hipótesis se formulan los niños cuando los minuendos están constituidos principalmente por ceros? (ej: 100-5).
e)¿Qué hipótesis se formulan los niños cuando los sustraendos contienen ceros? (ej: 257-020). Situación parecida a la segunda planteada por Nemirovsky, pero con un mayor grado de complejidad.
f)¿Qué hipótesis se formulan los niños cuando a un minuendo compuesto mayoritariamente por ceros se le restan cantidades más pequeñas, posicionalmente hablando? (ej: 200-8).

Son estas y otras situaciones las que interesa observar en el presente trabajo.

ESTRATEGIAS IDENTIFICADAS EN LOS NIÑOS AL RESTAR

a)Estrategias localizadas por Bermejo (1990):


b)Estrategias localizadas por Maza:

Para este autor, existe un algoritmo generalizado en la resolución de la resta y que incluyen a las situaciones de transformación. Por lo tanto, las estrategias localizadas en distintos niños, son variantes de un mismo mecanismo. Expresiones como las "de llevar", "tomar prestado", y otras, sintetizan dicho procedimiento. Otros elementos, como el poner "numeritos" arriba de la operación para recordar lo que está haciendo, también forman parte del mismo modelo.

En esencia, para Maza el origen de las estrategias aditivas y de sustracción, se deben "...tanto a la representación mental que se hacía de las acciones implícitas en el problema como a las acciones que el niño ejercía sobre tal representación" (1995, 88).

Bajo esta lógica, construye un modelo (1995, 87) que expresa las diversas acciones mentales que los sujetos en general realizan al restar; en dicho bosquejo se destacan situaciones como las siguientes: disposición de los números por columnas, empezar a restar a partir de las unidades, se establece una relación de orden para quitar al mayor o sino sustituirlo, etc.

Sobre estas dos perspectivas es necesario realizar las siguientes puntualizaciones:

a)En ambos casos no se estudian las situaciones de transformación. Aun cuando Maza nos habla de las sustituciones que se realizan en tales algoritmos, no explicita cómo ocurre, ni qué hipótesis se formulan los niños al respecto.

b)No se identifican las situaciones particulares del empleo del cero.