ENSEÑAR A TRAVÉS DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:
DIFICULTADES, OBSTÁCULOS Y EFECTOS DE UNA TRANSPOSICIÓN



Dra. Alicia Avila


RESUMEN
En el año de 1993 se introdujo en la escuela primaria mexicana una reforma curricular con la idea básica de que los niños aprendieran matemáticas resolviendo problemas. Los primeros años de instrumentación de la reforma muestran una serie de dificultades y efectos entre los que destacan: la complejidad adecuada de los problemas que se plantean; el papel de las estrategias espontáneas de resolución o la imposibilidad de transferir a los niños la responsabilidad de su aprendizaje. En esta conferencia se habla de dichas cuestiones.

La transposición tiene su utilidad, sus inconvenientes y su rol, incluso para la construcción de la ciencia. Es a la vez inevitable, necesaria y, en un cierto sentido, lamentable. Debe ponerse bajo vigilancia. (Guy Brousseau; 1986; 282-283).

En el año de 1993 se introdujo en la educación primaria mexicana un nuevo curriculum de matemáticas. La idea básica de tal reforma consistía en impulsar la resolución de problemas como vía del aprendizaje escolar. Los planeadores buscaban generar nuevas relaciones didácticas, nuevas formas de vinculación con los saberes matemáticos, en fin, nuevos procesos educativos que - postulaban - dotarían a los conocimientos de un mayor significado que el que se lograba en esos momentos en las escuelas.

Interesada en conocer la forma en que el nuevo curriculum se iba incorporando en las aulas realicé, con un grupo de colaboradores, una serie de observaciones en escuelas públicas de distintas características y con profesores también de diverso perfil profesional. Tales observaciones se iniciaron en 1994 y concluyeron en 1997 . La estancia en los salones de clase me permitió advertir varias cuestiones. En primer término, que la reforma no es una reforma de todos ni (tal vez) una reforma de mayorías. Muchos profesores conservan sus formas habituales de enseñanza, en las cuales subyacen dos esquemas básicos de acción:

  • Uno de transmisión, basado en la mostración de los conceptos y las relaciones que se quiere hacer aprender y que puede identificarse con el llamado modelo tradicional: el profesor transmite, el alumno capta;
  • Otro que promueve el descubrimiento de los conocimientos mediante la interrogación; es la enseñanza que muchos identifican con la mayéutica y que puede interpretarse también en su forma moderna, como la promoción del "aprendizaje por descubrimiento" (cf. Avila;1999).

    La permanencia de estas formas de enseñanza es argumentada por los profesores mediante dos ideas básicas: que tales formas han sido eficaces en la práctica; o que las bondades del aprendizaje mediante resolución de problemas no compensa los esfuerzos invertidos en impulsarlo.

    Ahora bien, la acción de los profesores que han aceptado en mayor o menor medida que sus alumnos aprendan resolviendo problemas deja ver una serie de dificultades y efectos producto de la transposición operada, que aparecen en distintas etapas del proceso establecido alrededor de los objetos de enseñanza. En seguida analizo algunos de ellos.

    1. Plantear problemas que en realidad sean "un problema para los alumnos".

    Una cuestión esencial del "aprender (y enseñar) resolviendo problemas" es que los problemas no resulten tan fáciles que los niños ya tienen de antemano un modelo de resolución, pero que tampoco sean tan difíciles que les resulten inaccesibles, es decir, que no cuenten con conocimientos que les permitan imaginar una estrategia de solución, construirla y ponerla a prueba. Esta cuestión, hoy discursivamente desgastada, en los hechos resulta difícil de gestionar. Se escucha con frecuencia, y particularmente a profesores de grados superiores, afirmar:


    Y bajo tal idea los profesores retoman su forma habitual de trabajo: explican y ponen ejemplos, o interrogan si la opción asumida es que los niños descubran el conocimiento en juego; luego los niños hacen ejercicios y, finalmente resuelven algunos problemas para aplicar los conocimientos adquiridos. Y tal vez los problemas como vía del aprendizaje nunca lleguen. Creo que en vez de considerar que los alumnos son incapaces de resolver problemas porque vienen "atrasados", la pregunta que cabe es la siguiente: ¿No será que el problema que se está planteando puede modificarse, hacerse más sencillo (sin trivializarse) y ése sí lo puedan resolver los alumnos?

    Para ilustrar la pertinencia de la cuestión citaré dos pasajes observados en clase; el primero de ellos refiere a una profesora de primer grado que planteó el siguiente problema a sus alumnos:

    "Juanito ganó 10 carritos, ahora tiene 15 carritos. ¿Cuántos tenía antes?


    El problema genera escasa interacción, de hecho, hay una ausencia de respuestas: "¿Por qué nadie opina?", dice la maestra; en respuestas al azar: "¡Veinticinco!", "¡Quince!", "¡Tres!", "¡Treinta!", dicen los niños; en dispersión, desinterés: juego con el ábaco, plática, franco desorden. La maestra llama al orden, lanza preguntas de otro estilo: "¿Por qué 25?", pero ni aún así obtiene respuesta.

    No es sorpresivo que esto haya ocurrido. Estudios diversos repiten el resultado: los problemas de la forma x + b = c - aun con números que se presten al cálculo mental - por lo general no son accesibles a niños de 6 años. Finalmente, un niño responde adecuadamente: "¡Cinco!". La maestra siente alivio, pero los demás siguen sin entender. La dificultad excesiva del problema - que podría haberse disminuído si hubiese correspondido a la forma a + x = c - no permitió establecer sino escasa vinculación con el objeto de enseñanza. La limitación, pues, provino de la situación, no de los alumnos.

    Mi segundo ejemplo es el de un profesor de quinto grado que, después de haber dibujado un círculo en el pizarrón, inicia la clase lanzando al grupo la pregunta siguiente:

    Puede verse, la medición de la circunferencia no es para los niños un asunto trivial. Y como la respuesta no llega mediante el interrogatorio, el profesor decide hacer un dictado (apoyado con dibujos en el pizarrón) para introducir algunos conocimientos sobre el círculo; los niños anotan y dibujan en su cuaderno. Luego, el profesor continúa la clase comunicando el conocimiento que quería ver aparecer en sus alumnos. Lo hace de la manera siguiente:

    Cuando termina su mostración dice: "[El hilo] Cabe"... (en un tono que indica a los niños que deben completar la frase). Los niños responden a coro: "¡Tres!" o "¡Tres y un cachito!" Y el maestro continúa su participación diciendo: "Los griegos de la antigüedad descubrieron que: en todos los círculos el diámetro cabe 3.1416 veces (...) ese número se llama Pi" ; concluye anotando la fórmula para obtener el perímetro del círculo.

    Puede verse, finalmente se llegó a la cuestión originalmente planteada: medir la circunferencia dibujada en el pizarrón, advertir que el diámetro cabe en ella tres veces "y algo más" y definir esa relación como Pi. Sólo que en vez de haberse llegado mediante una interacción personal de los niños con la situación-problema (como parecía ser la intención inicial) se llegó mediante la comunicación del conocimiento por parte del profesor, quien termina mostrando a los niños lo que inicialmente quería que ellos construyeran utilizando sus propios recursos. El proyecto original fue completamente cambiado. Se trataba de un proyecto en el que quienes pensarían y propondrían serían los niños pero la clase terminó al revés: quien pensó y propuso fue el maestro, quienes siguieron la participación y el pensamiento del profesor fueron los niños.

    ¿Por qué se hizo necesaria una modificación tan radical? No fue porque los niños de ese grupo fuesen incapaces de resolver problemas, sino por otras razones. La primera de ellas ya la señalé: el problema planteado a manera de pregunta oral era demasiado difícil. Pero la dificultad excesiva no es sino una respuesta parcial al por qué fue necesario modificar el proyecto original. Hay otra respuesta a la imposibilidad de resolver la cuestión planteada, está relacionada con la dificultad que comento a continuación.

    2. Dar a los alumnos los recursos necesarios para resolver los problemas.

    Hoy sabemos que la posibilidad de hipotetizar soluciones y ponerlas a prueba, de ejercer acción directa sobre la situación-problema, de justificar frente a los otros las ideas, son vías fecundas para el aprendizaje y el desarrollo intelectual. En el pasaje antes referido, se privó a los alumnos de tal posibilidad, al privarlos de manipular y experimentar directamente sobre la situación planteada (el único que podía hacerlo era el profesor).

    Esta forma de interacción didáctica es muy frecuente en nuestras aulas. Es nuevamente el caso que observamos cuando se solicita a los niños calcular el área de un hexágono que se ha dibujado en el pizarrón. En esta ocasión el maestro se asegura que los niños cuenten con los conocimientos previos que supone necesarios para resolver la situación (solicita que identifiquen el cuadrado, el triángulo, el rectángulo y las fórmulas para obtener sus respectivas áreas). Luego pregunta:



    A partir de esta pregunta, los niños van ofreciendo distintas respuestas. El pasaje se desarrolla de la manera que ejemplifico a continuación:


    La clase continúa con la misma dinámica hasta que un niño hace la siguiente proposición: "Lado por altura sobre 2, más lado por altura sobre 2, más lado por altura sobre dos [...]" El maestro da por buena la respuesta argumentándola y justificándola nuevamente mediante dibujos en el pizarrón: lo hace dividiendo en seis triángulos el hexágono e indica que la suma de esas áreas daría el área total. Una vez hecha tal justificación, solicita buscar otra forma de obtener el área (su interés es que los niños utilicen la fórmula convencional). Y conduce un nuevo intercambio para que esto se logre; una vez más, es él quien comprueba la validez de las sucesivas respuestas.

    Es decir, nuevamente los niños proponen, pero es el profesor quien conserva para sí la posibilidad de interactuar directamente con la situación-problema y probar así la validez de las respuestas. Al no darse a los niños las condiciones suficientes para resolver con sus recursos personales la tarea (pues el profesor media su acción sobre la situación-problema), se introduce un segundo factor que limita el éxito en la realización de la misma. Refiriéndome de nuevo al perímetro del círculo: la actividad alrededor de este contenido hubiese sido exitosa en los términos del proyecto original si, además de que los niños contaran con los conocimientos previos necesarios para imaginar una solución, ellos hubiesen tenido las condiciones que les permitiesen poner a prueba sus ideas y sus hipótesis acerca de cómo medir la circunferencia.

    En el caso del hexágono, si bien el proyecto no derivó en otro basado en la comunicación del saber, el acercamiento propuesto sin duda tiene limitaciones en el hecho de no poder poner personalmente a prueba las hipótesis y en tener que formularlas en el ámbito público de la clase desde el momento en que son construidas. El error eventual será constatado por todos. Es fácil suponer que esto intervendrá en la decisión de no participar.

    En suma, si se les da a los niños la responsabilidad de resolver un problema sin que se les haya mostrado el camino de resolución, es necesario darles la posibilidad de interactuar directamente con la situación y los recursos didácticos suficientes para hacerlo. La situación ha de permitirles controlar la validez de sus hipótesis. Esto en la práctica, según hemos visto, es una dificultad importante para los profesores.

    3.Seleccionar las situaciones en que convenga confrontar y discutir puntos de vista y soluciones

    De acuerdo con el nuevo enfoque de enseñanza, los niños deben participar en las decisiones en clase, deben expresar sus puntos de vista, poner en común y confrontar sus formas de acercamiento y sus soluciones. Pero promover la discusión y argumentación de manera que sean provechosas también presenta sus dificultades. Por una parte, no es necesario discutir todo (hemos visto grupos en que el profesor promueve la discusión de cuestiones como: quiénes formarán cada equipo, de cuántos serán los equipos, en qué orden se harán las tareas, incluso si se quiere realizar la tarea). También hemos visto poner en común estrategias de resolución y soluciones de problemas cuya simplicidad no genera estrategias o respuestas diversas, tampoco posturas encontradas. Al "confrontarse" este tipo de resultados, el profesor se justifica: "Estos niños no están acostumbrados a discutir, vea usted, no hablan". Los niños, por su parte, consiguen escaso provecho intelectual: si todos están de acuerdo, no habrá interés en escuchar repetidamente una misma respuesta y una única estrategia de resolución; de ello no se obtendrá ningún aprendizaje.

    Hay en cambio oportunidades que resultan útiles para hacer evolucionar los conocimientos de los niños. Son las que cumplen las siguientes condiciones:

  • Que el problema sea realmente un problema para los niños;
  • Que no se cuente con un modelo sistemático de solución;
  • Que por lo mismo ofrezca posibilidades de distintas estrategias de resolución;

    Porque si todos los alumnos tienen una solución similar, obtenida con una estrategia similar, habrá muy poco que discutir. El acuerdo se habrá establecido desde el principio y lo demás saldrá sobrando. Esta cuestión puede parecer trivial, pero no siempre es advertida por los profesores.

    4. Hacer explícito el aprendizaje logrado a través de la interacción con la situación- problema

    Con frecuencia, y conforme a la propuesta curricular, los profesores proponen juegos (o actividades) en los cuales subyace un conocimiento matemático; por ejemplo los juegos con fichas que llevan a manejar el principio de agrupamiento y valor relativo en que se sustenta el sistema decimal. Son juegos que consisten en llegar a alguna meta, completar una cierta cantidad antes que los compañeros, utilizando e intercambiando fichas de valor relativo conforme a ciertas reglas (p. ej. 1 ficha roja = 1; 1 ficha amarilla = 10 rojas; 10 rojas = 1 ficha verde). Al realizar dichos juegos, se supone que los niños están aprendiendo los principios del sistema decimal de numeración. Empero, con frecuencia el juego centra la atención del maestro y la de los niños, y el conocimiento no se explicita. Los niños juegan, ganan o pierden, se divierten... y guardan las fichas para pasar a la siguiente clase. El patrón se repite con otros temas como las fracciones o la medición.

    Según las explicaciones actuales acerca del aprendizaje, una forma de conocimiento es la que se genera en interacción directa con la situación; este conocimiento se expresa a manera de acción o de estrategia de resolución (cf. Broussseau; 1986; Vergnaud; 1977). Idealmente, en los juegos con fichas se genera un conocimiento "en acto" vinculado a los principios del sistema decimal: una ficha roja representa la unidad; una ficha amarilla equivale a 10 de color rojo (representa un grupo de 10); 10 amarillas equivalen a una verde (que representa un grupo de 100)... Pero este conocimiento "en acto" no es sino una fase inicial en el proceso de aprendizaje. El conocimiento debe formularse, comunicarse e institucionalizarse. Sin embargo, con frecuencia es sólo en el nivel de la acción que se promueve el conocimiento y su explicitación no tiene lugar. Es pues un proceso parcial, incompleto el que se promueve.

    Para completar el ciclo del aprendizaje es necesario, después de la realización de la actividad, que el maestro llame la atención sobre lo implícito en las acciones. Plantear cuestiones como ¿Qué fue lo que estuvimos haciendo?, ¿Cuáles fueron las reglas del juego?, ¿Qué representa una ficha amarilla?, ¿Cuál es el valor de una ficha verde? podría ayudar a explicitar el conocimiento, aun siendo éste incipiente y provisorio. Pero son muchas las clases que hemos visto concluir sin una fase de explicitación o formulación, mucho menos de institucionalización. Por supuesto hay profesores que llevan a cabo dicha fase. Pero hacerlo requiere una cierta habilidad y, sobre todo, la conciencia docente de tal necesidad. Esta conciencia, no siempre se observa en los hechos. Quizá tampoco en los materiales curriculares.

    5. Mantener el sentido de las estrategias "espontáneas" en el proceso de aprendizaje

    Una de las ideas centrales que sustentan el aprendizaje a través de las resolución de problemas es que los alumnos establecerán un vínculo directo con el objeto de conocimiento; ese contacto se traducirá en un primer momento en el desarrollo de estrategias personales de resolución. Siguiendo esta idea, los nuevos programas y textos sugieren ciertas secuencias para el acercamiento a cada uno de los contenidos en las que en un primer momento, los niños responderán a la situación planteada generando sus propias estrategias de resolución. Por ejemplo, en la secuencia para enseñar la división inicialmente se incluyen situaciones en que se promueve el repartir objetos uno a uno (o de n en n); luego, se promueve el uso otros procedimientos personales como por ejemplo la multiplicación, hasta llegar al uso del procedimiento convencional para dividir (cf. Avila y Balbuena coords; 1993; SEP; 1994).

    En un salón de clases en que la profesora del grupo había promovido el aprendizaje de la división según la nueva propuesta, los niños habían resuelto el siguiente problema:


    La mayoría había encontrado la solución anotando la división 5/30 o multiplicando 5 x 6. Pero seguramente la maestra encontró interesante (o digno de mostrar al observador) la estrategia de un niño que hace el reparto gráficamente, porque le dice al resto del grupo: "Miren qué bonita la forma en que resolvió sus compañero", y repite esto varias veces, mostrando el dibujo con cierta insistencia. En los siguientes problemas que la maestra dicta, y que son muy parecidos al anterior, esta estrategia es utilizada por un número importante de niños, probablemente por la mayoría.

    Por supuesto que los niños no utilizaron el reparto uno a uno por una necesidad intelectual, como único recurso del que disponían para llegar a la solución. Lo utilizaron por otras razones: porque ellos en general buscan darle gusto a sus profesores; su condición de alumnos los obliga (cf. Brousseau; 1986; Sarrazy; 1995; Avila; 1999). La mayoría de los niños de este grupo contaba con recursos intelectuales y técnicos más avanzados para resolver problemas de división (incluso algunos manejaban ya el procedimiento convencional) pero el interés por complacer a su profesora los condujo a utilizar el dibujo para resolver los problemas. Fue la maestra quien, probablemente sin percatarse, orientó al uso de tal estrategia.

    Yo no lo observé, pero me contaron de una profesora que, en su clase, pedía a los niños resolver los problemas con tres estrategias diferentes. Seguramente habrá circunstancias en que tal solicitud sea válida, pero creo que no siempre será así. Hay en todo esto una contradicción y un efecto no previsto en la propuesta curricular: obligar a los niños a utilizar estrategias "espontáneas". Acaso esto sea comprensible porque a veces las soluciones que plantean los niños son muy interesantes, incluso sorprendentes, y quizás por eso los maestros quieran conocer más de lo que pueden hacer sus alumnos. Pero si no se actúa con cautela, puede distorsionarse el sentido que las estrategias espontáneas tienen en el proceso de aprendizaje que hoy se preconiza.

    Este es pues uno de los efectos de transposición de un curriculum organizado a través de la resolución de problemas: convertir en objeto de enseñanza e incluso en obligación un recurso incorporado para dar cabida oficial a las formas personales de relación con los saberes matemáticos. En esto me parece ver una variante del efecto que Guy Brousseau denominó deslizamiento metacognitivo y cuyo ejemplo más impactante encuentra en la reforma de los años setentas, (particularmente en el uso de los diagramas de Venn). Este efecto consiste en transformar en objetos de enseñanza los recursos introducidos inicialmente como apoyo para lograr los aprendizajes (cf. Brousseau; 1986).

    Finalmente, hablaré de una cuestión que, ciertamente debería haber mencionado al principio, ya que es condición indispensable de la incorporación del nuevo enfoque en las aulas, pero lo he dejado hasta el final porque, me parece, es de otro orden de complejidad que los anteriormente expuestos.

    6. Aceptar "devolver" a los alumnos la responsabilidad de su aprendizaje

    A muchos maestros que toda una vida habían trabajado con la idea de que lograr que los niños estén atentos, explicar bien, poner ejemplos claros y luego situaciones de ejercitación y aplicación suficientes son rasgos que describen la acción del "buen maestro", les es casi imposible aceptar que los alumnos pueden aprender sin que se les trasmitan los conocimientos ¡Toda la vida los han transmitido! Es difícil aceptar que los alumnos de carne y hueso, los que se tienen frente a sí al iniciar la clase son capaces de resolver los problemas que se les plantean sin que les diga cómo hacerlo y sin que sea necesario controlar "paso a paso" sus procesos intelectuales. Infinidad de episodios nos remiten a esto, también infinidad de declaraciones. Referiré aquí sólo a guisa de ejemplo, el momento en que una maestra de primer año les dice a sus alumnos:

    La profesora, ante dos respuestas distintas a una pregunta - diversidad que por cierto parece tomarla por sorpresa - retrocede en su decisión inicial de dejar a los niños contar "solos". Ella prefiere retomar el control de la actividad y lo hace puntualmente, ¿será porque piensa que si deja libres a los niños cada uno va a obtener respuestas distintas y que esas respuestas no serán las correctas? Me parece que sí, que por eso recupera el control del tiempo de aprendizaje y de las respuestas. Pero convendría preguntarse, ¿esta ganancia en control compensaría lo que se perdió en términos de aprendizaje?, aprendizajes tales como:

  • el desarrollo de estrategias personales de conteo;
  • la construcción de medios para controlar la validez de los resultados.
  • la construcción de argumentos para justificar ante los otros las respuestas obtenidas

    Efectivamente, ésta habría sido una excelente oportunidad para discutir el por qué se había obtenido 4 ó 5 como respuesta, incluso en términos de aprendizaje del español, pues en el diccionario, el término sombrero define una "prenda de vestir que sirve para cubrir la cabeza". Según tal definición, los niños que contaron la gorra del policía, estaban en lo correcto. Hubiese sido didácticamente productivo trabajar con esta doble interpretación. Pero en la maestra se sobrepuso el deseo de controlar linealmente el aprendizaje. Y a mí me parece que al recuperarse el control la pérdida fue mayor que la ganancia. Por ello planteo que otra cuestión necesaria en la actuación del profesor (según las nuevas propuestas) es tener confianza en los alumnos y traducir esa confianza en espacios de libertad. Es necesario aceptar que no por hacer más puntual el control de los acontecimientos en clase se van a tener mejores aprendizajes.

    Pero la cuestión no resulta trivial. Antes dije que aceptar "devolver" a los alumnos la responsabilidad del aprendizaje me parecía de un orden de complejidad distinto al de las cuestiones antes analizadas. Retomo ahora tal idea recuperando la noción de obstáculo en el sentido de Bachellard (1979) y transferida por Brousseau al ámbito de la didáctica (cf. Brousseau; 1983). Bajo una forma de acción docente que no permite a los alumnos actuar fuera de control ni gozar de espacios amplios de libertad, "se adivina no sólo una falta de destreza, una inhabilidad, se adivina también (y sobre todo) una forma de conocer y de pensar. Es una forma de actuar ligada a una concepción característica, coherente, que ha tenido éxito en un dominio de acción: en este caso el de la enseñanza. Es, finalmente, un obstáculo que impide ver de otra manera, que genera conductas persistentes, que en el caso que nos ocupa, remite al ámbito del conocimiento y de las creencias". Es pues, como dije, un asunto distinto de la dificultad cuyo ámbito se reduce al de la técnica y la destreza. Es por lo tanto una cuestión básica a superar como condición de posibilidad de la enseñanza a través de la resolución de problemas.

    Lo que aquí he expuesto busca contribuir a identificar algunas dificultades en la instrumentación del nuevo enfoque de enseñanza de las matemáticas, también algunos efectos seguramente no previstos en el momento de su incorporación. Por supuesto, lo que ocurre en las escuelas no se agota con lo que aquí he anotado, pero tengo la esperanza de que sea útil para pensar algunos aspectos de la enseñanza de las matemáticas según los nuevos vientos, independientemente del nivel escolar de que se trate.

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